НОД и НОК

Материал из DRKB


НОД, решение ax+by=1, нахождение обратного элемента по модулю

Алгоритм Евклида[править | править код]

1. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq+r, 0 <= r < b.
2. Если r = 0, то b есть искомое число.
3. Если r =/= 0, то заменим пару чисел (a,b) парой (b,r) и перейдем к шагу 1.
int NOD(int a, int b)
{
    while(a!=0 && b!=0)
    {
       if(a>=b) a=a%b;
           else b=b%a;
    }
    return a+b; // Одно - ноль
}


При вычислении наибольшего общего делителя (a,b) с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более 5p операций деления с остатком, где p есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел a и b.


Бинарный алгоритм Евклида[править | править код]

Этот алгоритм использует соотношения для НОД:

НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b)
НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,

Он иллюстрируется следующей программой:


  m := a;
  n := b;
  d := 1;
  { НОД(a,b) = d * НОД(m,n) }
  while not ((m = 0) or (n = 0)) do
  begin
    if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then
    begin
      d := d * 2;
      m := m div 2;
      n := n div 2;
    end
    else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then
    begin
      m := m div 2;
    end
    else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then
    begin
      n := n div 2;
    end
    else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 1) and (m >= n) then
    begin
      m := m - n;
    end
    else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 1) and (m <= n) then
    begin
      n := n - m;
    end;
  end;
  { m=0 => ответ=d*n; n=0 =>  ответ=d*m }


Алгоритм решения уравнения ax+by = 1[править | править код]

1. Определим матрицу E:
E = 
( 1 0 )
( 0 1 )
2. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq + r, 0 <= r < b.
3. Если r = 0, то второй столбец матрицы E даёт вектор (x, y) решений уравнения.
4. Если r =/= 0, то заменим матрицу E матрицей
E * 
( 0 1 )
( 1 -q )
5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.


Расширенный алгоритм Евклида[править | править код]

Даны x, y. Находит a, b, v: ax+by = d, где d=НОД(x, y)

Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.

Псевдокод[править | править код]

НА ВХОДЕ: два неотрицательных числа a и b: a>=b
НА ВЫХОДЕ: d=НОД(a,b) и целые x,y: ax + by = d.
1. Если b=0 положить d:=a, x:=1, y:=0 и возвратить (d,x,y)
2. Положить x2:=1, x1:=0, y2:=0, y1:=1
3. Пока b>0
3.1 q:=[a/b], r:=a-qb, x:=x2-qx1, y:=y2-qy1
3.2 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y
4. Положить d:=a, x:=x2, y:=y2 и возвратить (d,x,y)


Исходник на Си[править | править код]

/* Author:  Pate Williams (c) 1997 */
#include <stdio.h>

#define DEBUG

void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
  long q, r, x1, x2, y1, y2;
  if (b == 0) {
    *d = a, *x = 1, *y = 0;
    return;
  }
  x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
  #ifdef DEBUG
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  printf("q    r    x    y    a    b    ");
  printf("x2   x1   y2   y1\n");
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  #endif
  while (b > 0) {
    q = a / b, r = a - q * b;
    *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
    a = b, b = r;
    x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
    #ifdef DEBUG
    printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
    printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
    printf("%4ld %4ld\n", y2, y1);
    #endif
  }
  *d = a, *x = x2, *y = y2;
  #ifdef DEBUG
  printf("------------------------------");
  printf("-------------------\n");
  #endif
}

int main(void)
{
  long a = 4864, b = 3458, d, x, y;
  extended_euclid(a, b, &x, &y, &d);
  printf("x = %ld y = %ld d = %ld\n", x, y, d);
  return 0;
}


Алгоритм работает за O(log2n) операций.


Нахождение обратного элемента по модулю[править | править код]

Обратный элемент для x из Zn - такой a из Zn, что ax = 1(mod n)

Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.

Псевдокод[править | править код]

НА ВХОДЕ: а из Zn.
НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.
1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).
2. Если d > 1, то обратного элемента не существует. Иначе возвращаем x.


Исходник на Си[править | править код]

/*  Author:  Pate Williams (c) 1997 */

#include <stdio.h>

/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
{
  long q, r, x1, x2, y1, y2;
  if (b == 0) {
    *d = a, *x = 1, *y = 0;
    return;
  }
  x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
  while (b > 0) {
    q = a / b, r = a - q * b;
    *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
    a = b, b = r;
    x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
  }
  *d = a, *x = x2, *y = y2;
}

/* computes the inverse of a modulo n */
long inverse(long a, long n)
{
  long d, x, y;
  extended_euclid(a, n, &x, &y, &d);
  if (d == 1) return x;
  return 0;
}

int main(void)
{
  long a = 5, n = 7;
  printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
  a = 2, n = 12;
  printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
  return 0;
}

НОК[править | править код]

НОК( a , b) = a*b / НОД(a, b)


Source: http://algolist.manual.ru
ID: 04071
ID: 04072
ID: 04073