НОД и НОК
Материал из DRKB
НОД, решение ax+by=1, нахождение обратного элемента по модулю
Алгоритм Евклида[править | править код]
- 1. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq+r, 0 <= r < b.
- 2. Если r = 0, то b есть искомое число.
- 3. Если r =/= 0, то заменим пару чисел (a,b) парой (b,r) и перейдем к шагу 1.
int NOD(int a, int b)
{
while(a!=0 && b!=0)
{
if(a>=b) a=a%b;
else b=b%a;
}
return a+b; // Одно - ноль
}
При вычислении наибольшего общего делителя (a,b) с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более 5p операций деления с остатком, где p есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел a и b.
Бинарный алгоритм Евклида[править | править код]
Этот алгоритм использует соотношения для НОД:
НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b) НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,
Он иллюстрируется следующей программой:
m := a;
n := b;
d := 1;
{ НОД(a,b) = d * НОД(m,n) }
while not ((m = 0) or (n = 0)) do
begin
if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 0) then
begin
d := d * 2;
m := m div 2;
n := n div 2;
end
else if (m mod 2 = 0) and (n mod 2 = 1) then
begin
m := m div 2;
end
else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 0) then
begin
n := n div 2;
end
else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 1) and (m >= n) then
begin
m := m - n;
end
else if (m mod 2 = 1) and (n mod 2 = 1) and (m <= n) then
begin
n := n - m;
end;
end;
{ m=0 => ответ=d*n; n=0 => ответ=d*m }
Алгоритм решения уравнения ax+by = 1[править | править код]
- 1. Определим матрицу E:
E = ( 1 0 ) ( 0 1 )
- 2. Вычислим r - остаток от деления числа a на b, a = bq + r, 0 <= r < b.
- 3. Если r = 0, то второй столбец матрицы E даёт вектор (x, y) решений уравнения.
- 4. Если r =/= 0, то заменим матрицу E матрицей
E * ( 0 1 ) ( 1 -q )
- 5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.
Расширенный алгоритм Евклида[править | править код]
Даны x, y. Находит a, b, v: ax+by = d, где d=НОД(x, y)
Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.
Псевдокод[править | править код]
НА ВХОДЕ: два неотрицательных числа a и b: a>=b НА ВЫХОДЕ: d=НОД(a,b) и целые x,y: ax + by = d.
- 1. Если b=0 положить d:=a, x:=1, y:=0 и возвратить (d,x,y)
- 2. Положить x2:=1, x1:=0, y2:=0, y1:=1
- 3. Пока b>0
- 3.1 q:=[a/b], r:=a-qb, x:=x2-qx1, y:=y2-qy1
- 3.2 a:=b, b:=r, x2:=x1, x1:=x, y2:=y1, y1:=y
- 4. Положить d:=a, x:=x2, y:=y2 и возвратить (d,x,y)
Исходник на Си[править | править код]
/* Author: Pate Williams (c) 1997 */
#include <stdio.h>
#define DEBUG
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
long q, r, x1, x2, y1, y2;
if (b == 0) {
*d = a, *x = 1, *y = 0;
return;
}
x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
#ifdef DEBUG
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
printf("q r x y a b ");
printf("x2 x1 y2 y1\n");
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
#endif
while (b > 0) {
q = a / b, r = a - q * b;
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
a = b, b = r;
x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
#ifdef DEBUG
printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
printf("%4ld %4ld\n", y2, y1);
#endif
}
*d = a, *x = x2, *y = y2;
#ifdef DEBUG
printf("------------------------------");
printf("-------------------\n");
#endif
}
int main(void)
{
long a = 4864, b = 3458, d, x, y;
extended_euclid(a, b, &x, &y, &d);
printf("x = %ld y = %ld d = %ld\n", x, y, d);
return 0;
}
Алгоритм работает за O(log2n) операций.
Нахождение обратного элемента по модулю[править | править код]
Обратный элемент для x из Zn - такой a из Zn, что ax = 1(mod n)
Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.
Псевдокод[править | править код]
НА ВХОДЕ: а из Zn. НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.
- 1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).
- 2. Если d > 1, то обратного элемента не существует. Иначе возвращаем x.
Исходник на Си[править | править код]
/* Author: Pate Williams (c) 1997 */
#include <stdio.h>
/* calculates a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
{
long q, r, x1, x2, y1, y2;
if (b == 0) {
*d = a, *x = 1, *y = 0;
return;
}
x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
while (b > 0) {
q = a / b, r = a - q * b;
*x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
a = b, b = r;
x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
}
*d = a, *x = x2, *y = y2;
}
/* computes the inverse of a modulo n */
long inverse(long a, long n)
{
long d, x, y;
extended_euclid(a, n, &x, &y, &d);
if (d == 1) return x;
return 0;
}
int main(void)
{
long a = 5, n = 7;
printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
a = 2, n = 12;
printf("the inverse of %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
return 0;
}
НОК[править | править код]
НОК( a , b) = a*b / НОД(a, b)
Source: http://algolist.manual.ru
ID: 04071
ID: 04072
ID: 04073